I. Acquisire tecniche e metodi relativi a funzioni inverse e implicite in R^n con applicazioni a problemi vincolati.
II. Acquisire una buona conoscenza dei concetti e metodi relativi alla teoria della integrazione classica su R^n, e, in particolare, su curve e superfici in R^3 con le
relative applicazioni alla Fisica
II. Acquisire una buona conoscenza dei concetti e metodi relativi alla teoria della integrazione classica su R^n, e, in particolare, su curve e superfici in R^3 con le
relative applicazioni alla Fisica
Curriculum
scheda docente
materiale didattico
Lemma di Gronwall. Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali (Prop. 8.10.[Ch])
Applicazioni del teorema della funzione implicita: Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, massimi e minimi vincolati. (prop. 7.9 [Ch]) Teorema della funzione inversa, diffeomeorfismi locali. [Ch]
Teoria dell'integrazione: 1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme è misurabile se e solo se la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile è integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimostrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varietà. Curve regolari e superfici regolari.
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali in R^3).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2 e R^3).
3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa è nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso è esatta.
Insiemi stellati una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Complementi al corso: 2-forme, pull-back, push-forward per campi vettoriali e forme.
[G] Giusti Analisi Matematica 2
Programma
Equazioni differenziali: Teorema di esistenza e unicità, tempi di esistenza. (Teo. 8.8 [Ch])Lemma di Gronwall. Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali (Prop. 8.10.[Ch])
Applicazioni del teorema della funzione implicita: Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, massimi e minimi vincolati. (prop. 7.9 [Ch]) Teorema della funzione inversa, diffeomeorfismi locali. [Ch]
Teoria dell'integrazione: 1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme è misurabile se e solo se la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile è integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimostrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varietà. Curve regolari e superfici regolari.
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali in R^3).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2 e R^3).
3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa è nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso è esatta.
Insiemi stellati una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Complementi al corso: 2-forme, pull-back, push-forward per campi vettoriali e forme.
Testi Adottati
[Ch] Chierchia Analisi Matematica -n[G] Giusti Analisi Matematica 2
Bibliografia Di Riferimento
[MFS] Marcellini Fusco Sbordone Analisi Matematica 2 [BDG] Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli, Analisi matematica, McGraw Hill, Milano, 2011 (seconda edizione);Modalità Frequenza
la frequenza del corso e' fortemente raccomandataModalità Valutazione
L'esame consiste in una prova scritta (sostituibile col superamento di due prove in itinere) sui temi del corso ed una prova orale
scheda docente
materiale didattico
Lemma di Gronwall. Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali (Prop. 8.10.[Ch])
Applicazioni del teorema della funzione implicita: Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, massimi e minimi vincolati. (prop. 7.9 [Ch]) Teorema della funzione inversa, diffeomeorfismi locali. [Ch]
Teoria dell'integrazione: 1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme è misurabile se e solo se la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile è integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimostrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varietà. Curve regolari e superfici regolari.
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali in R^3).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2 e R^3).
3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa è nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso è esatta.
Insiemi stellati una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Complementi al corso: 2-forme, pull-back, push-forward per campi vettoriali e forme.
[G] Giusti Analisi Matematica 2
Programma
Equazioni differenziali: Teorema di esistenza e unicità, tempi di esistenza. (Teo. 8.8 [Ch])Lemma di Gronwall. Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali (Prop. 8.10.[Ch])
Applicazioni del teorema della funzione implicita: Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, massimi e minimi vincolati. (prop. 7.9 [Ch]) Teorema della funzione inversa, diffeomeorfismi locali. [Ch]
Teoria dell'integrazione: 1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme è misurabile se e solo se la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile è integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimostrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varietà. Curve regolari e superfici regolari.
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali in R^3).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2 e R^3).
3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa è nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso è esatta.
Insiemi stellati una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Complementi al corso: 2-forme, pull-back, push-forward per campi vettoriali e forme.
Testi Adottati
[Ch] Chierchia Analisi Matematica -n[G] Giusti Analisi Matematica 2
Bibliografia Di Riferimento
[MFS] Marcellini Fusco Sbordone Analisi Matematica 2 [BDG] Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli, Analisi matematica, McGraw Hill, Milano, 2011 (seconda edizione);Modalità Frequenza
la frequenza del corso e' fortemente raccomandataModalità Valutazione
L'esame consiste in una prova scritta (sostituibile col superamento di due prove in itinere) sui temi del corso ed una prova orale